математика

МАТЕМА́ТИКА. Математические представления евреев в библейскую эпоху ограничивались элементарными сведениями о весах и мерах. Однако упоминание в Библии больших чисел — тысяча (элеф), десять тысяч (ревава) и др. свидетельствует об относительно развитой возможности счета.

Исключительно словесное наименование чисел в Библии говорит об отсутствии цифровой системы их обозначения (уже существовавшей тогда в Вавилоне). Счет ведется по десятеричной системе (например, эсер — 10, эсрим — 20; меа — 100, матаим — 200 и т. д.), хотя единицы мер и весов, видимо, заимствованные, основаны чаще на шестиричной и двенадцатиричной системах. Числа свыше тысячи встречаются в Библии главным образом в связи с подсчетом еврейского населения (см. демография) и расходами царя Давида на подготовку к строительству Храма, когда дважды упоминается миллион — элеф алафим (буквально `тысяча тысяч`; I Хр. 21:5; 22:14). Неизмеримо большие количества обозначались выражениями ке-хол ха-ям (`как песок морской`) или ке-хохвей ха-шамаим (`как звезд на небе`; Быт. 22:17; 41:49). Абстрактных чисел евреи той эпохи не знали, все используемые в Библии числа связаны с исчислением конкретных вещей — людей, денег и т. д. Это относится к дробным числам, из которых здесь упоминаются 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и 1/10 (например, Исх. 16:36), и к применению лишь к конкретным ситуациям уже известных тогда четырех арифметических действий (например, Быт. 18:28; Чис. 3:39, 50).

Как и у большинства других древних народов, геометрические представления евреев библейской эпохи также базировались исключительно на практическом опыте и конкретных материальных потребностях — таких как продажа земельных участков, строительство жилых домов, а также на потребностях культа и т. д. (о единицах измерения длины, площади, объема и т. д. см. веса и меры). Даже число π — сравнительно сложное геометрическое понятие, выражающее отношение длины окружности к диаметру, стало, по-видимому, известно евреям лишь в связи со строительством Храма, где впервые возникла необходимость рассчитывать площадь круглых плоских поверхностей, и с измерением так называемого «Соломонова моря» (I Ц. 7:23–26; II Хр. 4:2–5).

Обращение евреев эпохи Талмуда к математике почти исключительно как к вспомогательному средству при решении галахических (см. Галаха) вопросов (абстрактная математика, достигшая к этому времени, особенно у греков, серьезного развития, здесь еще полностью отсутствует) потребовало заметного расширения применяемых математических средств. Так, в Талмуде определяются некоторые иррациональные числа (например, √2 — отношение диагонали к стороне квадрата, принимаемое равным 12/5; Сукка, 8а), решаются задачи, связанные с различными геометрическими фигурами — треугольниками, окружностями, квадратами, а также вписанными в окружность квадратами, вписанными в квадрат окружностями и т. д. (например, трактаты Миддот и Эрувим Вавилонского Талмуда). Там же делаются попытки исчислять площади фигур, ограниченных частично прямыми, частично кривыми линиями (например, определяется, хоть и не совсем, но для галахических целей достаточно точно, площадь сегмента круга, описанного вокруг квадрата). Обычно такие задачи решались в связи с проблемами кил’аим и эрув. Весьма сложный математический инструментарий используется для астрономических вычислений (см. астрономия), необходимых для составления календаря, в частности, для определения новолуния, продолжительности года, месяца, суток и часа (также главным образом для галахических целей; см. календарь). Некоторые исследователи считают, что для астрономических вычислений, производимых законоучителями Талмуда, требовалось уже знание основ тригонометрии, но явных свидетельств этого не обнаружено. Несмотря на то, что начиная с эпохи Хасмонеев в Талмуде применяется уже буквенное обозначение чисел (буквами от алеф до тет обозначались числа первого порядка, от йод до цадэ — второго, от коф до тав третьего (до 400), а последующие — сочетанием букв), — в целом математика у евреев той эпохи оставалась на элементарном уровне.

В системе раввинистической учености раннего средневековья математика оставалась в основном на уровне предшествующего периода. Интерес к математике как к науке зарождается у евреев с появлением греко-арабской образованности, в распространении которой они приняли активное участие (см., например, Испания). Древнейший еврейский чисто математический труд — «Мишнат ха-миддот» («Учение о мерах») — большинство исследователей датируют не ранее чем 9 в. Первым известным евреем-математиком был Машаалла (Менашше) бен Асан (754–813), астроном и астролог из Египта, в работах которого, позднее переведенных на латинский язык, изложены основы греческой математики. Его современником был Сахл ибн Бишр, автор сочинения по алгебре («Ал-джабар валь-мукабала»). В 9 в. Али Синд ибн Али прославился трактатом под таким же названием и комментариями к «Элементам» Евклида, а Сахл ибн Раббан ат-Табари имел репутацию великого геометра. В 10 и 11 вв. известностью пользовались Я‘аков бен Ниссим из Кайруана (умер в 1066 г. или 1067 г.), автор сочинений по индусской математике, и Бишр бен Пинхас бен Шу‘айба (все названные авторы писали на арабском языке).

Первое изложение геометрии на иврите «Хиббур ха-мешиха ве-ха-тишборет» («Трактат об измерении площадей и исчислении дробей») принадлежит Аврахаму бар-Хии ха-Наси (1065?-1136) из Барселоны. Он же автор работы «Иесодей ха-твуна» («Основоположения разума») — энциклопедии арифметики, геометрии, астрономии и музыки. В 13 в. умножились переводы на иврит сочинений греческих и арабских математиков: в 1238 г. Иехуда бен Шмуэль ха-Кохен из Толедо выпустил на арабском языке, а затем перевел на иврит энциклопедию, содержавшую отрывки из «Элементов» Евклида; в 1278 г. появился их полный перевод с арабского, выполненный Моше Ибн Тиббоном (см. Тиббониды); Я‘акову бен Махиру (1236–1307) приписывается перевод книг греческого математика Гипсикла Александрийского; несколько позже Калонимос бен Калонимос бен Меир (1286 — после 1326 г.) перевел на иврит комментарии к ним Ал-Фараби. Перевод на иврит комментариев Ал-Фараби (арабский оригинал не сохранился) к первой и пятой книгам «Элементов» Евклида относится, по-видимому, к этому же времени. В 13–14 вв. были переведены сочинения греческого математика Менелая Александрийского о сферических фигурах (Я‘аков бен Махир), работы Архимеда «Об измерении длины окружности» и «Исследование коноидов и сфероидов» (Калонимос бен Калонимос) и ряд других сочинений. В 14 в. крупнейшим авторитетом в математике считался Леви бен Гершон из Баньолы (1288–1344), автор комментариев к 1-й и 3–5 книгам «Элементов» Евклида.

К 14 в. относится также трактат на мишнаитско-талмудическом иврите Авнера из Бургоса (после крещения — Альфонсо де Вальядолид; 1270–1340?) «Меяшшер аков» («Выпрямляющий кривое»), факсимиле рукописи которого, находящейся в Британском музее, вышло по инициативе С. Лурье в Москве в 1983 г. в серии «Памятники письменности Востока». Место этого сочинения в истории науки определяется во многом самостоятельным анализом ряда центральных тогда проблем чистой математики (построение прямолинейных отрезков той же длины, что кривые линии, «квадратура» плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, «кубатура» тел, ограниченных кривыми поверхностями и т. д.), а также впервые, по-видимому, высказанной в послеантичную эпоху идеей применения принципа движения в геометрии. Попытка автора доказать пятый постулат Евклида, исходя из соображений кинематики, свидетельствует, что его внимание уже привлекали те области математики, развитие которых привело в 17 в. к созданию дифференциального и интегрального исчисления, а в 19 в. — к неевклидовой геометрии.

С изгнанием евреев из Испании их участие в развитии математики (за редкими исключениями, например, И. Ш. Дельмедиго (см. Дельмедиго, семья), учившегося в Падуанском университете у Галилея) надолго прервалось и возобновилось лишь в 19 в., став важнейшим, а подчас и решающим фактором прогресса этой науки. Одним из первых выдающихся математиков-евреев был английский ученый Д. Сильвестер (1814–97), чьи работы во многом способствовали становлению современной алгебры, теории чисел, теории вероятностей и заложили основы современных теорий инвариантов. Некоторые области современной математики приобрели свой нынешний вид благодаря немецким математикам-евреям: Л. Кронекеру, Г. Кантору, Ф. Клейну (1849–1925) и Г. Минковскому. В Германии же решил ряд фундаментальных проблем теории чисел Ф. Г. Эйзенштейн (1823–52; сожалея о его ранней смерти, К. Ф. Гаусс назвал юношу одним из трех — наряду с Архимедом и И. Ньютоном — наиболее выдающихся математиков всех времен); Р. О. Липшиц (1832–1903) плодотворно работал в области теории чисел, вариационного исчисления, рядов Фурье и теории дифференциальных уравнений, где он совместно с О. Л. Коши доказал одну из центральных теорем («условие Коши — Липшица»); сделала свои открытия Эмми Неттер; положил начало современным историко-математическим исследованиям М. Кантор (1829–1920), автор остающихся образцовыми «Лекций по истории математики» (в 4-х томах); дал решение ряда важных проблем геометрии (в частности, теории минимальных поверхностей, теории конформных отображений, известной теоремы П. Дирихле для произвольных контуров) Г. А. Шварц (1843–1921) и т. д.

В Италии Л. Кремона (1830–1903) внес крупный вклад в проективную и алгебраическую геометрию и открыл (названный его именем) класс бирациональных преобразований; Д. Асколи (1843–1896) — в математический анализ, теорию функций и функциональный анализ (впервые ввел важное понятие псевдоравномерной сходимости); позднее В. Вольтерра (1860–1940) получил решающие результаты в области теории дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, функционального анализа и в других разделах математики; С. Коррадо (1863–1924) — в многомерной и дифференциальной проективной геометрии; Г. Фубини (1879–1943) — в дифференциальной геометрии, теории непрерывных групп Ли и математическом анализе; Г. Асколи (1887–1957) — в ряде разделов геометрии и математического анализа; в Италии работал и Т. Леви-Чивита.

Славу французской математике принес Ж. С. Адамар (1865–1963), один из создателей функционального анализа и автор многих других выдающихся открытий: в теории чисел — открыл асимптотический закон распределения простых чисел; в теории функций — создал значительную часть современной теории целых аналитических функций; в механике — нашел математическое решение проблемы устойчивости и равновесия и многое другое (был членом Совета попечителей Еврейского университета в Иерусалиме). Его ученик П. Леви (1886–1971) впервые сформулировал общие предельные теоремы теории вероятностей и был одним из создателей теории случайных процессов. Позднее во Франции прославился Л. Шварц (1915–2002), особенно исследованиями в области теории обобщенных функций, теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории потенциала (математическая физика).

В Германии в конце 19 в. — начале 20 в. М. Нётер (1844–1921) внес важный вклад в геометрию многомерных пространств и теорию абелевых групп; А. Гурвиц (1859–1919) существенно развил теорию чисел и теорию дифференциальных уравнений, где его именем назван критерий для определения устойчивости решения важного класса уравнений; позднее К. Гензель (1861–1941) дал решение ряда принципиальных проблем абстрактной алгебры; Э. Г. Ландау (1877–1938) получил выдающиеся результаты в ряде разделов математики, особенно в аналитической теории чисел и теории функций комплексного переменного (был некоторое время профессором и членом Совета попечителей Еврейского университета в Иерусалиме и участвовал в основании его Института математики).

В этот же период в Англии Л. Д. Морделл (1888–1972) серьезно обогатил теорию чисел и особенно теорию диофантовых уравнений; А. С. Бесикович (1891–1970), учившийся в Петербургском университете у А. А. Маркова, был одним из создателей аддитивной теории чисел; Луис Розенхед (1906–84) внес крупный вклад в прикладную математику, особенно теорию вероятностей и ее приложения к статистической механике (в 1956–60 гг. он был профессором Техниона в Хайфе); Клаусу Фридриху Роту (1925–2015) многим обязана теория чисел и, в частности, теория диофантовых приближений.

Важную роль в развитии математики сыграли ученые-евреи и в других европейских странах — в Польше Х. Д. Штейнхауз (1877–1972) решил ряд крупных проблем теории вероятностей, в Венгрии П. Эрдёш заслужил мировую известность работами в области теории чисел, многомерных геометрий, теории вероятностей и в других разделах математики и т. д.

В 20 в. особенно крупный вклад в математику внесли ученые-евреи в США. С. Лефшецу (1884–1972) в алгебраической геометрии принадлежит теория многомерных алгебраических многообразий, в топологии — общая теория пересечения циклов в многообразиях, в общей алгебре — алгебраическая теория непрерывных отображений и многое другое. Крупнейшим математиком был Н. Винер (см. также кибернетика), благодаря которому приобрели современный вид теория гармонических функций, общая теория гармонического анализа, теории рядов и преобразований Фурье, случайных процессов, потенциала и многое другое. Ведущим (в мировом масштабе) ученым в области математической физики стал эмигрировавший в 1933 г. в США из Германии Р. Курант (1888–1972), которому принадлежит теория конформных отображений, решение краевых задач математической физики и многих других проблем, определивших развитие квантовой теории. В области гармонии, анализа и теории аналитических функций многие важные результаты получил С. Бохнер (1899–1982), являющийся и одним из главных создателей теории обобщенных функций. Современная алгебраическая геометрия многим обязана О. Зарискому (1899–1986). В США прошел самый плодотворный период деятельности А. Тарского, Дж. фон Неймана, А. Вейля (1906–98), много сделавшего в области теории групп, теории чисел и, особенно, алгебраической геометрии, и многих других ученых, приехавших из Европы. Ведущая роль в американской математике затем перешла к Н. Джекобсону (1910–99), внесшему весомый вклад в общую и топологическую алгебру, С. Эйленбергу (1913–98) — создателю гомологической алгебры и одному из основателей алгебраической топологии, М. Кацу (1914–85) — крупному ученому в области теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений и статистической механики, Л. Берсу (1914–93) — одному из создателей теории комплексных функций и ее важных обобщений (известен также результатами в разработке теории дифференциальных уравнений в частных производных и в газовой динамике), и многим другим.

Наиболее видные американские математики следующего поколения — Джордж Даниэль Мостоу (род. в 1923 г.), развивший теорию алгебраических групп и их дискретных подгрупп, Изадор Мануэль Зингер (род. в 1924 г.) — признанный авторитет в области дифференциальной геометрии и функционального анализа, Элиас Менахем Стайн (род. в 1931 г.) — ведущий специалист в области гармонического анализа, Пол Джозеф Коэн (1934–2007), внесший самый выдающийся вклад последних десятилетий в теорию множеств (изобрел так называемый метод вынуждения, позволивший ему найти решение континуум-гипотезы, что не удавалось сделать математикам со времени Г. Кантора), Доналд Сэмюэл Орнштейн (род. в 1934 г.), продвинувший эргодическую теорию и ряд разделов прикладной математики, Р. Д. Дуглас (род. в 1937 г.), решивший многие фундаментальные проблемы комбинаторного анализа и теории графов, Чарльз Луис Фефферман (род. в 1949 г.), ведущий специалист в области теории дифференциальных уравнений в частных производных и гармонического анализа, и многие другие. Сегодня в США практически нет ни одного центра математических исследований, где ученые-евреи не занимали бы ведущего или заметного места.

В России участие ученых-евреев в развитии математики практически началось лишь после 1917 г. Одним из первых евреев-математиков в России был, видимо, С. О. Шатуновский (1859–1929), плодотворно работавший в ряде областей алгебры и геометрии и создавший школу советских математиков, которая внесла крупный вклад в исследования оснований математики. Отцом советской геометрии считается В. Ф. Каган (1896–1953), которому принадлежит аксиоматика евклидова пространства, теория субпроективных пространств, представляющая широкое обобщение пространства Лобачевского, решение ряда фундаментальных проблем тензорной дифференциальной геометрии и многое другое. Один из основателей советской математической школы, С. Н. Бернштейн (1880–1968) построил первую аксиоматику теории вероятностей, развил теорию слабозависимых величин и теорию стохастических дифференциальных уравнений и указал на ряд важных применений вероятностных методов в физике, биологии и статистике. Одним из создателей современной теории случайных функций был Е. Е. Слуцкий (1880–1948); Григорий Фихтенгольц (1888–1959), автор учебников по математическому анализу, по которым училось целое поколение советских математиков и инженеров, много работал в области теории функций вещественной переменной, функционального и гармонического анализа; мировую славу советской математике принес А. Я. Хинчин (1894–1959); П. С. Урысон (1898–1924) доказал важные метризационные теоремы, касающиеся топологических пространств, и создал новое направление в топологии — теорию размерности (в 1921–22 гг. он прочитал в Московском университете первый в России курс топологии); Л. А. Люстерник (1899–1981) впервые применил метод конечных разностей к решению задачи Дирихле и совместно с Л. Г. Шнирельманом развил топологические методы в вариационном исчислении; Л. Г. Шнирельман, помимо того, внес крупный вклад в теорию чисел; А. О. Гельфонд (1906–68) впервые установил глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, создал аналитические методы доказательства трансцендентности чисел и решил известную проблему Эйлера-Гильберта. Фундаментальные результаты в области функционального анализа, в частности, в геометрии банаховых пространств, теории операторов и других областях получил М. Г. Крейн (1907–89). М. А. Наймарк (1909–78) является одним из создателей теории унитарных представлений комплексной унимодулярной группы; И. М. Гельфанд (1913–2009), один из крупнейших советских математиков, построил теорию коммутативных нормированных колец, ставшую основой для созданных им совместно с М. А. Наймарком и др. теории колец с инволюцией и теории бесконечномерных представлений групп Ли; Б. З. Вулих (1913–78) оставил заметный след в теории колец, теории групп, теории меры и других областях; мировое признание получили работы Л. В. Канторовича; А. М. Яглом (1921–88) внес заметный вклад в эргодическую теорию, теорию вероятностей, теорию инвариантных уравнений и теорию случайных процессов; крупным мировым авторитетом в области теории вероятностей, теории стохастических процессов, теории игр и других разделов математики является Евгений Дынкин (1924–2014), ныне — профессор Корнеллского университета в США.

СССР также покинули (главным образом из-за дискриминации евреев в ведущих математических центрах страны) Иосеф Бернштейн (род. в 1945 г.), крупный ученый в области теории дифференциальных уравнений, гармонического анализа и функционального анализа (в 1983–93 гг. работал в Гарвардском университете, с 1993 г. — профессор Тель-Авивского университета); Давид (Дмитрий) Каждан (род. в 1946 г.; ныне — профессор-эмерит Гарвардского университета и профессор Еврейского университета в Иерусалиме), известный результатами в теории групп, теории функций, гармонического анализа и других областях; Борис Митягин, крупный ученый в области математической экономики, теории оптимизации, линейного программирования и функционального анализа (род. в 1937 г.; ныне — профессор Университета штата Огайо); Михаил Громов, получивший ценные результаты в ряде разделов геометрии (род. в 1943 г.; ныне — постоянный профессор Института высших научных исследований во Франции, с 1996 г. — профессор Нью-Йоркского университета), и многие другие ученые. Вне специальных математических центров (по преимуществу, в физических институтах) серьезный вклад в научные исследования внесли Григорий Маргулис (род. в 1946 г.; теория дискретных групп), Яков Синай (род. в 1935 г.; эргодическая теория, статистическая физика), Марко (Марк) Вишик (1921–2012; теория дифференциальных уравнении в частных производных), Роланд Добрушин (1929–95; особенно в математической физике) и ряд других математиков. Утратив в последнее время в силу указанной выше причины ведущую роль в советской «чистой» математике, ученые-евреи продолжают вносить важный вклад в развитие ее самых перспективных прикладных направлении (см. также кибернетика).

Широкое признание получили достижения израильских математиков. К их старшему поколению относятся П. Хеврони; А. Френкель (1891–1965) — создатель (совместно с Э. Цермело) первой аксиоматики теории множеств, открывшей путь к исследованию ее парадоксов и антиномий; Б. Амир (1896–1968) — основатель Института математики при Еврейском университете в Иерусалиме и первого израильского математического журнала; И. Бар-Хиллел — автор фундаментальных исследований в области оснований математики, и др.

Плодотворную научную деятельность в области математики продолжили А. Дворецкий; Ш. Аммицур (1921–94) — крупный алгебраист (теория колец, теория групп); Шмуэль Агмон (Быстрицкий; род. в 1922 г.), заслуживший всемирное признание работами в области дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа (особенно теория операторов); И. Пятецкий-Шапиро; И. Р. Оман — ведущий ученый в области теории игр; М. Рабин (см. Рабин, семья); Хилель Фюрстенберг (род. в 1935 г.), разрабатывающий эргодическую теорию, теорию чисел, теорию вероятностей, теорию некоммутативных (неабелевых) групп; И. Линденштраус; А. Забродский (1936–87), существенно продвинувший алгебраическую топологию, гомотопическую теорию; Биньямин Вайс (род. в 1941 г.) — в эргодической теории, теории вероятностей, топологической динамике и других областях; Сахарон Шелах (род. в 1945 г.) — крупнейший израильский ученый в области математической логики, и многие другие.

В израильских университетах и других научных центрах достойное место заняли ученые-математики, репатриировавшиеся из СССР: Д. П. Милман (1912–82) — функциональный анализ и его приложения; Д. Майзлер (1913–96), которому принадлежит, в частности, доказательство ряда предельных теорем теории вероятностей; Израиль Гохберг (1928–2009) — теория несопряженных операторов, функциональный анализ; Виталий Мильман (род. в 1939 г.) — геометрия банаховых пространств; Элияху (Илья) Рипс (род. в 1948 г.), видный специалист в области теории групп; Юрий Кифер (род. в 1948 г.), известный своими результатами в области теории вероятностей, теории случайных возмущений динамических систем, эргодической теории, и многие другие.

Многие математики-евреи из разных стран удостоены наиболее почетной в области математики премии Филда, а также других научных премий, присуждаемых международными и национальными математическими центрами и ассоциациями.